Тема 9.1. Баллистика. Координатный метод
Летняя олимпиадная школа МФТИ. «Август 1.0» 31 июля 12 августа 2026 года.
1.      Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы дальностьего полёта была втрое большемаксимальной высоты его подъёма? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ округлите до сотых.
Ответ: a=arctg(4/3)≈ 53,13°
1.    Под каким углом α к горизонтали брошен камень, если в верхней точке траектории он был виден с места броска под углом β к горизонтали? Влиянием воздуха на движение камня пренебречь.
2.    Под каким углом α к горизонтали брошен камень, если в верхней точке траектории он был виден с места броска под углом β к горизонтали? Влиянием воздуха на движение камня пренебречь.
Ответ: a=arctg(2tgβ)
3.    Камень бросили под углом к горизонту со скоростью V0 = 8 м/с с крутого берегареки высотой H = 1,8 м. С какой скоростью камень упал в воду? Принять g = 10 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывать.
4.    Мячик бросили со скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Найдите радиус кривизны траектории через 1 с. Сопротивление воздухане учитывать.
5.    Два маленьких стальныхшарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальнымискоростями 5 м/cи 8 м/c, направленными под углами α1 = 25° и α2 = 85° к горизонту соответственно. Чему равно расстояниемежду шариками спустя время 1/4, 1/2 и 1 c после броска?
6. Мальчик бросает мяч в направлении вертикальной стены так, чтобы мяч, отскочив от стены, упал точно к его ногам. Какова должна быть начальная скорость мяча V0, если бросок производится с высоты h = 1,8 м под углом α = 45° к горизонту? Расстояние от мальчика до стены l = 4,1 м.
Удар мяча о стену считайте абсолютно упругим, ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2. Размером мяча и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
7.       Из миномётаведут обстрел объекта,расположенного на плоскомсклоне горы. Угол наклона горы равен β, угол стрельбы по отношению к горизонту равен θ. На каком расстоянии L = AB будут падать мины, если их начальнаяскорость равна V0? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решить задачу в двух различных декартовых прямоугольных системах координат.
8.       Склон горы составляет угол a с горизонтом. В момент времени t = 0 на поверхности склона взорвалась граната, и множество осколков полетели во все стороны, причем начальная скорость всех осколков одинаковая по модулю. Оказалось, что осколки падали на склон в течение промежутка времени Dt. На какое максимальное расстояние осколки удалялись от склона? Считайте склон очень длинным. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь.
9.       Ворона с сыром сидит на ветке дерева на высоте H = 5 м над землей. Внизу строго под ней сидит лисица, которая может прыгать вертикально вверх с максимальной скоростью υ0 = 6 м/с. Через какое время после того, как ворона каркнет, лисице следует прыгнуть за сыром, чтобы как можно скорее его заполучить? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
10.       Лисица преследует ворону, летящую с сыром в клюве на высоте H = 3 м со скоростью υв = 3 м/с, находясь все время точно под ней. В некоторый момент ворона роняет сыр. Лисица тут же прыгает со скоростью υл = 6 м/с относительно земли и ловит сыр в полете. Примите ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
1)   Под каким углом α к горизонту прыгнула лиса?
2)   Через какое время t после прыжка сыр окажется у нее в зубах?
3)   На какой высоте h лиса поймала сыр?
11.     Из ружья стреляют с поверхности земли вертикально вверх. Найдите время полёта пули, если скорость пули при вылете 100 м/с, а при падении – на 20 % меньше. Примите ускорение свободного падения 10 м/с2, и что сила сопротивления воздуха прямо пропорционально зависит от скорости пули.
12.     Симметричная граната, брошенная с поверхности земли с начальной скоростью v0 = 20 м/с под углом α = 30° к горизонту, в верхней точке траектории разорвалась на множество одинаковых осколков. Известно, что интервал временимежду падением первогои последнего осколка на землю равен τ = 10 с. На каком расстоянии l по горизонтали от точки взрыва упадет на землю осколок, движущийся после взрыва в том же направлении, что и граната до взрыва? g = 10 м/с2. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
13.     Снаряд вылетел из ствола пушки с начальной скоростью υ0 под углом α к горизонту. На некоторой высоте он разорвался на два одинаковых осколка, которые упали на землю одновременно. Расстояние между упавшими осколками равно L. Место старта снаряда и места падения осколков лежат на одной прямой. Найдите расстояние S от места расположения пушки до места падения дальнего осколка. Сопротивление воздуха не учитывайте. Ускорение свободного падения равно g.
Домашнее задание
1.    Стрелок попадает из ружья в вертикально подброшенный камень в моментего наивысшей точки подъёма. Высота подъема в этот момент равна h = 10 м. Стрелокнаходился на расстоянии S = 20 м от места броска камня. Под каким углом к горизонту направлена скорость пули в момент выстрела? Стрелок и место броска камня находятся на одном горизонтальном уровне, а выстрели подбрасывание камня происходят одновременно.
2.    Со склона горы с углом наклона α = 30° производится выстрел из миномета.Начальная скорость мины равна V0 = 60 м/с и направлена перпендикулярно склону. На каком расстоянии от места выстрела произойдет падение мины на склон. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g =10 м/с2.
3.    * С утеса высотой 55 метров выстреливают ядром с начальной скоростью 100 м/с под углом 30◦ к горизонту. Определите, с какой начальной скоростью под углом 60◦ к горизонту одновременно с выстрелом должен подпрыгнуть барон Мюнхгаузен, стоящий на расстоянии 80 м от предполагаемого места падения ядра, чтобы «оседлать» (встретиться) его. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения примите равным 10 м/с2. Все движения происходят в одной вертикальной плоскости.